Une chèvre est attachée par une corde à un point fixe situé sur la circonférence d'un pré de forme circulaire de rayon 1 mètre. Quelle longueur faut-il donner à la corde pour que la chèvre ait accès à la moitié de la surface du pré ? Même question mais avec un rayon R quelconque.

Une piste de solution et une autre

La solution est la solution de l'équation transcendante :

On ne peut trouver une solution que par valeurs approchées en utilisant par exemple Maxima.

On trace le cercle C' de centre A et de rayon l qui coupe le cercle C en H et K.

J est le point diamétralement opposé à A sur le cercle C, et P est la projection orthogonale de O sur (AH).

Pour obtenir l'aire S commune aux deux cercles, on additionne l'aire S_1 du secteur AHK du cercle C', l'aire S_2 du secteur OHK du cercle C, et on soustrait l'aire S_3 du quadrilatère AHOK (qui serait comptée 2 fois sinon).

On prend comme inconnue l'angle OAH = x en radians.

On a : AK = AJ * cos x (dans le triangle rectangle AKJ) d'où l = 2*R*cos x , S1 = (1/2)*l^2*(2*x) = x*l^2 = 4*R^2*x*(cos x)^2

Le triangle OAH est isocèle de sommet O, donc AOH = \pi - 2*x et S_2 = (1/2)*R^2*2(\pi-2*x) = R^2 *(\pi-2*x)

S_3 est deux fois l'aire du triangle OAH : S_3 = 2*OP*PA = 2* R*sin x * R*cos x = 2*R^2 * cos x * sin x

L'équation à résoudre est S = \pi*R^2/2 ou encore S_1 + S_2 - S_3 = \pi*R^2/2 4*R^2*x*(cos x)^2 + R^2 *(\pi-2*x) - 2*R^2*cos x * sin x = \pi*R^2/2 qui se simplifie en : 2 * sin x * cos x - 2 *x * (2 * (cos x)^2 -1) = \pi/2

En posant y = 2x :

sin y - y * cos y = \pi/2

y est l'angle HAK et est compris entre 0 et \pi .

La fonction f : y –> sin y - y * cos y est continue et strictement croissante sur [0 , \pi] et f(0) = 0 et f(\pi) = \pi.

L'équation f(y) = \frac{\pi}{2} admet donc une seule solution dans [0 , \pi]. Avec un outil de calcul, on trouve : y = 1.905695729…

On en déduit ensuite : \frac{l}{R} = 2 * cos(y/2) = 1.158728473…